Стабільність масштабних ймовірнісних булевих мереж через агрегацію мережі

Модель булевої мережі (BN) використовується для зйомки комбінаторної еволюції експресії генів у системах біології Kauffman (1969). У цій моделі кожен генний вузол кількісно визначається на два рівні: на (1) і вимкнено (0), а наступний стан вузла визначається поточними станами конкретних вузлів через заздалегідь визначену булеву функцію. Поки що БН були широко застосовані в механізмах захворювання, диференціації клітин тощо. Однак, через випадковість біологічних систем, детерміновані БН не можуть точно описати регуляторні зв’язки між генами. З метою введення невизначених факторів у моделі БН з'явилися ймовірнісні булеві мережі (PBN) Shmulevich et al. (2002), що краще розкриває процес еволюції клітин та генів. Кожен вузол у PBN, що відрізняється від BNS, відповідає одній або декількома булевими функціями, і на кожному етапі ітерації вибирається одна з функцій з певною ймовірністю. В даний час застосування BN та PBN вже не обмежуються біологією, але широко використовуються в інженерних ролі та ін. (2011), Economics Bonzon et al. (2006) та нейронні мережі Kurková та ін. (1998). Крім того, багато часу, що змінюються в часі, також можна моделювати як PBN для подальшого аналізу їх поведінки Artime та ін. (2024); Мохамад і Калел (2023). BNS або PBN з входами називаються булевими контрольними мережами (BCNS) Ideker та ін. (2001) або ймовірнісні булеві мережі контролю (PBCNS) Faryabi та ін. (2007), які вводяться та використовуються в цій статті.

Продукт напів-тензорів (STP) матриць є потужним математичним інструментом для вирішення логічних мереж, який може перетворити логічну мережу в алгебраїчну експресіюхенг та ін. (2011). На основі якого можна отримати всі властивості логічної мережі, такі як керованість та спостережливість Ю та ін. (2021); Чжао та Ченг (2014), Стабільність та стабілізація Dai та ін. (2024); Лю, Фен, Леоне, Фу, Xia, 2025, Лю, Лі, Фу, Чжао, 2023, роз'єднання порушення Ченг (2011); Fu та ін. (2018) та оптимальний контроль Форнасіні та Вальчер (2014); Li і Sun (2012) тощо. Мало того, що STP також широко використовується в інших галузях, таких як системна система Li та ін. (2018); Чжоу та ін. (2023), теорія ігор Fu et al. (2022); Ван та ін. (2021), чисельна алгебра Дінг та ін. (2024a); Вентилятор та ін. (2023); Wei та ін. (2024) тощо.

Для глибокого розуміння внутрішнього механізму системи та взаємодії між її вузлами та забезпечення того, щоб системи могли підтримувати нормальну роботу в умовах різних внутрішніх та зовнішніх порушень, дослідження стабільності є важливим. Для BNS, оскільки кожен поточний стан повністю і однозначно визначається державами в попередній час, утворені траєкторії прості. У Ченг та Ци (2010) запропоновано, що глобальна стабільність БН еквівалентна всім траєкторіям може врешті -решт увійти до унікального атрактора. Крім того, він також забезпечив достатню та необхідну умови для стабільності системи за допомогою методу матриці захворюваності. Та критерії стабільності БНС з порушеннями Guo et al. (2020), функція збурення Wu et al. (2022) або інші обмеження Дін та ін. (2024b); Менг та ін. (2022) обговорювались. Однак для ПБН кожен стан може відповідати декільком наступним станам, що призводить до розгалужувальних траєкторій з супутніми ймовірностями. Тому існують різні визначення для стабільності, таких як стабільність у стохастичному сенсі Менг та ін. (2017), стабільність у розповсюдженні Guo et al. (2019), стабільність у ймовірності Хуанг (2021), стабільність з ймовірністю 1 Wang et al. (2022) тощо. Під рамкою STP, Meng та ін. вивчав стабільність у стохастичному сенсі PBCN, яке виявило, чи стану перетворюється на цільовий стан, коли час наближається до нескінченності Менг та ін. (2017). Література Guo та ін. (2019) вперше запропонував визначення стабільності в розподілі, в якому ймовірність переходу від будь -якого початкового стану до цільового стану має тенденцію до одного, коли час наближається до нескінченності. Huang та ін. Хуанг (2021) також запропонував розслаблену концепцію стабільності у ймовірності, що дозволяє системі залишатися в цільовому стані з високою (але не обов'язково повною) ймовірністю. Та Wang et.al обговорили надійну стабільність набору та встановити стабілізацію з ймовірністю 1 PBCN у Wang et al. (2022). Порівняно з іншими визначеннями стабільності, стабільність з ймовірністю 1 вимагає, щоб державні траєкторії системи сходялися на цільовий стан з ймовірністю 1, яка відповідає високим вимогам багатьох практичних систем для стабільності траєкторії.

Хоча існує багато робіт щодо стабільності ПБН, важливим фактом є те, що кількість станів збільшується експоненціально з кількістю вузлів, а це означає, що простір стану великий. Наприклад, мережа з десятками вузлів має десятки мільярдів держав, а мережа з тисячами вузлів має більше держав, ніж кількість обсягу Планка у спостережуваному Всесвіті. Більшість існуючих методів покладаються на матриці розвідки або ймовірності переходу, що робить їх застосовними лише для невеликих мереж. Для подолання цього виклику метод агрегації мережі був запропонований як ефективна стратегія Ishii et al. (2012). Ключова ідея полягає у розділі масштабної системи на кілька підмережок (блоків) та проаналізувати їх окремо, тим самим зменшуючи ефективний простір стану та обчислювальне навантаження. Виходячи з цього, було вирішено багато питань масштабних систем. Наприклад, у Zhao et al. (2013) та Zhao et al. (2015), були встановлені методи розрахунку атракторів масштабних БНС та БКН. Доступність та оптимальний контроль масштабних BCN були досліджені у Ванг та Лі (2023). І стаціонарний аналіз LSPBNS був обговорений у Pan et al. (2019). Однак для стабільності або стабілізації системи існуючі творить Zhao et al. (2013) та Zhao et al. (2015) розглядали лише спеціальну структуру агрегації (наприклад, ациклічна агрегація та каскадна агрегація), і немає відповідних результатів для загальної структури агрегації. Натхненний вищезазначеною роботою, цей документ встановлює ітеративну формулу, застосовну до будь-якої структури агрегації, яка може характеризувати відносини співробітництва введення-виводу між підмережевими.

Решта цієї статті організована наступним чином: Розділ 2 містить кілька необхідних попередніх та відповідних введення СТП. У розділі 3 наведені описи моделі та проблем. Розділ 4 – головний зміст цієї статті. Нарешті, резюме показаний у розділі 5.